広中杯2005ファイナル解答解説

　2005年度広中杯ファイナルの解答および簡易解説です。MATHIC会員などの手によるものなので正しい保障はありません。また、ここに載っている解答に関して我々はいっさいの責任は持たないものとします。「その答えは違うよー」などの意見ございましたら、ご連絡ください。

I-(1)

　答：357

I-(2)

　答：7651

I-(3)

　答：101

nを10進法表記するとうえから
2^a 2^b 2^c 2^d 2^e
とする
0≦a,b,c,d,e≦3
すべて調べると101通り

I-(4)

　答：267

2005nを10進法表記して
すべての位を奇数にすればよい
n≦199のとき
明らかに下から4桁目が偶数
200から調べると
267で条件を満たす

I-(5)

　答：267

II-(1)

　答：対数11 基本サイズ1

II-(2)

　答：4

64通り調べると、280,440,192,528となる

II-(3)

　答：160

(800,n)=2となればよい
n≡2,6,14,18(mod20)
n＜800ならば160個ある

II-(4)

　答：26

III-(1)

　答：15

III-(2)

　答：27

III-(3)

　答：59

IV

　答：2:3

△ADC≡△AEBとなるよう点Eをとる
A,D,B,Eは共円
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC (1)
∴∠ADE=∠ABE (2)
AからBCに垂線を下ろしその足をHとする
AH=√(10^2-(15/2)^2)=√175/2
∴AD=√((√175/2)^2+(9/2)^2)=8
AE=AD=8でトレミーの定理より
DE=(12*8+8*3)/10=12
∴∠EDB=∠EBD (3)
(1)(3)より∠EDB=2∠ABE (4)
よって
∠CAD:∠ADB=∠BAE:(∠ABE+∠EDB)
=∠EDB:3∠ABE
=2∠ABE:3∠ABE
=2:3

V-(1)

　答：19

A^2≦16/81(10^4010)＜20*10^4008
A≧22/5*10^2004
⇒A≧(√19)*10^2004
⇒A^2≧19*10^4008

V-(2)

　答：2

(4…4)^2　　　(4が2005個)
=(16/81)*(10^4010)
-2*(16/81)*(10^2005)
+(16/81)
=197530864…19753.086…
-395061728…50617.283…
+0.197…
=197530864…19753(4010桁)-395061728…50617(2005桁)
=197530864197530864…19753246913580246913580…2469136
下から2005桁目は2

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