広中杯2006トライアル解答解説

　2006年度広中杯トライアルの解答および簡易解説です。MATHIC会員などの手によるものなので正しい保障はありません。また、ここに載っている解答に関して我々はいっさいの責任は持たないものとします。「その答えは違うよー」などの意見ございましたら、ご連絡ください。

　II-(3)の答えが間違っていたので修正しました。お気を付けください。

I-(1)

　答：(う)

1/2＜1/11+…+1/20
1/3＜1/21+…+1/30
……
1/10＜1/91+…+1/100
すべてたして、S＜T

I-(2)

　答：4分40秒

1/3すばらしいので、14/3

I-(3)

　答：8分20秒

川の流れる速度をa
ボートの速度をb
とする。
10b-15a=5b+5aより
a:b=1:4
a+b:-a+b=5:3
よって、BからAに行くときの5/3倍かかるので、
25/3分。

I-(4)

　答：1/8

A(0,0,0)B(1,1,0)C(1,0,1)D(0,1,1)とおく。
S_1の中心は(1/2,1/2,1/2)
S_1の半径は√3/6
S_1は平面x+y+z=2に接することが分かる。
S_2の中心(3/4,3/4,3/4)
S_2の半径は√3/12
よってV_2/V_1=1/8

I-(5)

　答：8746

8888*8887*8886*8885*8884(9進法)
≡-120(10進法)(mod 10000(9進法))
≡-143(9進法)(mod 10000(9進法))
≡8746(9進法)(mod 10000(9進法))

II-(1)

　答：0.00016

x=11111とおくと
1.1111*…
=(11111*11112-…)/100000
=(x(x+1)-(x+2)(x+3)-(x+4)(x+5)+(x+6)(x+7))/100000
=16/100000
=0.00016

II-(2)

　答：社長森田殿、副社長林田殿

副社長の近所に住んでいる平社員について考える。
副社長は長野に住んでいるので、東京に住んでいる木田さんでない。
年収が3の倍数でなければならないので、林田さんではない。
よって森田さんが副社長の近所に住んでいる。
森田さんは神奈川県に住んでいないので、副社長は森田殿でない。
森田殿は、専務とけんかしたので、専務でもない。
よって、森田殿は社長。
木田殿を副社長とすると、木田さんが神奈川県に住んでいないので矛盾。
副社長は林田殿。

II-(3)

　答：6

QR//PSなる点をDH上にとるとき、DS＝4
このとき、QR＝PS＝√(2^2＋2^2)＝2√2
QR＝PS＝√(2^2＋1^2)＝√5
QS＝√(2^2＋2^2＋1^2)＝3
よって、断面は三辺が2√2、3、√5の三角形がふたつある図形。
このとき、3を底辺に考えると高さは2。よって面積は3*2/2*2=6。

II-(4)

　答：987652341

大きい順に、987654213,987652341,…

III-(1)

540゜より小さいことは明らか。
tan∠BAC=(3/11)√15
tan∠ACB=(1/7)√15
(11+3√15i)^2(7+√15i)^3=-131072
より、証明された。■

III-(2)

　答：a=5,b=2

tan∠RPQ=(1/7)√15
tan∠RQP=(5/61)√15
(61+5√15i)(7+√15i)=32(11+3√15i)
これより、∠ACB+∠PQR=∠BACがわかる。
よって(1)を使うと、
5∠RPQ+2∠RQP
=5∠ACB+2(∠BAC-∠ACB)
=2∠BAC+3∠ACB
=180゜

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