JJMO2005解答

　2005年度JJMOの解答および簡易解説です。MATHIC会員などの手によるものなので正しい保障はありません。また、ここに載っている解答に関して我々はいっさいの責任は持たないものとします。「その答えは違うよー」などの意見ございましたら、ご連絡ください。

1

　答：33330

　6789+7896+8967+9678=1111(6+7+8+9)=33330

2

　答：31,93

　197=ax+11 290=bx+11 xは186,279の公約数
　x＞11よりx=31,93

3

　答：2

　□OPGQ=△OAQ*(1-1/2*1/3)=△OAB*1/2*(1-1/2*1/3)=2

4

　答：28

　9x-4y-7z=-8(2x+3y-z)+5(5x+4y-3z)=28

5

　答：44

　xが10進法でn桁とすると10^n-1≦x<10^n
　xが5進法でn桁とすると5^n-1≦x<5^n
　よって10^n-1≦x＜5^n
　1〜4,10〜24,100〜124の44個

6

　答：76

　直線になるのは8通り
　9C3-8=76

7

　答：36

　2005=5*401
　5の並べ方も401の並べ方も3!通りで
　(3!)^2=36

8

　答：65

　BDとCEの交点をFとする。
　∠AEF=95゜∠ADF=85゜で□AEFDは円に内接。中心をOとすると、
　∠AOF=170゜　∠OAF=5゜
　AFは∠BACを2等分するので∠EAF=35゜よって∠AED=65゜

9

　答：186

　n桁で a_n通りとする。
　n桁の7の倍数の後に1,2,3,4,5,6のいずれかをつけてもn+1桁の7の倍数にならない。
　n桁の7の倍数ではないの後に1,2,3,4,5,6のいずれかをつけるとn+1桁の7の倍数になる。
　a_(n+1)=6^n-a_n,a_1=0 a_4=186

10

　答：8:9

　APC≡APC'となるC'をPBの延長上にとり,Rに対応する点をR'とする。PC'と平行で　Aを通る直線lをとる。PQとlの交点をSとする。
　PBを2xとおくとAS=PB*4/3=8x/3
　AR:RC=8x/3:3x=8:9

11

　答：ア75 イ4 ウ5 エ409 オ283 カ643 キ175 ク76

12

　答：15

　3つの正整数をa,b,c（ただしa>b>c）とする
　36a＞12(a+b+c)=abc＞ac^2より6＞cなのでcの値で場合分けする
　c=5のとき、b=6だとしてもa=132/25となりa＜bなので解はない
　c=4のとき、12(a+b+4)=4ab⇔(a-3)(b-3)=21 b＞cに留意すると(a,b,c)=(10,6,4)
　c=3のとき、12(a+b+3)=3ab⇔(a-4)(b-4)=28 (a,b,c)=(32,5,3),(18,6,3),(11,8,3)
　c=2のとき、12(a+b+2)=2ab⇔(a-6)(b-6)=48 (a,b,c)=(54,7,2),(30,8,2),(22,9,2),(18,10,2),(14,12,2)
　c=1のとき、12(a+b+2)=ab⇔(a-12)(b-12)=156 (a,b,c)=(168,13,1),(90,14,1),(64,15,1),(51,16,1),(38,18,1),(25,24,1)
　全部で15個

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