第三回広中杯トライアル解説 by くりばや

最終更新日: 2002年7月6日(木曜日)

１、

ｎ週目の月曜日の日付は７（ｎ−１）＋１

ｎ週目の水曜日の日付は７（ｎ−１）＋３

ｎ週目の土曜日の日付は７（ｎ−１）＋６

ｎ週目の日曜日の日付は７（ｎ−１）

１週間に１回ずつ試合をするので

７×（０＋１＋２＋３＋４）＋１＋３×２＋６＝８３

２、

−６　ｘ１　−９

ｘ２　−１　　ｘ３

ｘ４　ｘ５　　ｘ６

とすると、（−６）＋ｘ２＝（−９）＋（−１）より、ｘ２＝−４

また、（−６）＋（−１）＝（−９）＋ｘ３より、ｘ３＝２

よって１列の和は（−４）＋（−１）＋２＝−３

あとは流動的にｘ１＝１２，ｘ４＝７，ｘ５＝−１４，ｘ６＝４

３、

一般に１０桁の対称数は

ａ×１０９＋ｂ×１０８＋ｃ×１０７＋ｄ×１０６＋ｅ×１０５＋ｅ×１０４＋ｄ×１０３＋ｃ×１０２＋ｂ×１０＋ａ（但し０≦ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ≦９，ａ≠０）

１０≡−１（ｍｏｄ　１１）より、上の１０桁の対称数をｎとおくと

ｎ≡（−１）９ａ＋（−１）８ｂ＋（−１）７ｃ＋（−１）６ｄ＋（−１）５ｅ＋（−１）４ｅ＋（−１）３ｄ＋（−１）２ｃ＋（−１）ｂ＋ａ

≡−ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ−ｅ＋ｅ−ｄ＋ｃ−ｂ＋ａ

≡０　　（ｍｏｄ　１１）

よって１１がすべての１０桁の対称数の公約数となる。

また、（１１１１１１１１１１，１１１１２２１１１１）

＝（１１１１１１１１１１，１１００００）

＝（１１１１，１１００００）

＝（１１１１，１１）

＝１１　（∵Ｅｕｃｌｉｄの互除法）

よって最大公約数は１１に他ならない。

４、

ＤからＢＣに下ろした垂線の足をＨ，ＡからＣＤに下ろした垂線の足をＨ’とすると

∠ＡＤＨ’＝９０°−∠ＣＤＨ＝∠ＤＣＨ

∠ＡＨ’Ｄ＝∠ＤＨＣ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤより△ＡＨ’Ｄ≡△ＤＨＣ

よってＡＨ’＝ＤＨ．Ｄを中心に△ＤＨＣを回転させ、ＣをＡに重ねる。このときＨの動いた先をＨ’’とすると∠ＢＡＤ＋∠ＢＣＤ＝１８０°、ＢＨ＝ＤＨ＝ＤＨ’’より

□ＤＨ’’ＢＨは正方形。これの一辺の長さはＤＨで面積が１２なので

ＤＨ２＝１２　　∴ＤＨ＝２（√３）

５、

赤い点を含むｋ角形の個数は２００２Ｃｋ−１

黒い点のみのｋ角形の個数は２００２Ｃｋ

よって、赤い点を含む多角形の個数は

２００２Ｃ２＋２００２Ｃ３＋２００２Ｃ４＋・・・＋２００２Ｃ２００２

黒い点のみの多角形の個数は

２００２Ｃ３＋２００２Ｃ４＋・・・＋２００２Ｃ２００２

よってこの二つの差は２００２Ｃ２＝２００２×２００１／２＝２００３００１

６、

ｘｚ＝ｙｚ＋２　―――（１）

ｘｙ＝ｘｚ＋ｙｚ＋２　―――（２）　　とする。

（１）より２≡０（ｍｏｄ　ｚ）ｚ：自然数なのでｚ＝１ｏｒ２

○ｚ＝１のとき

（１）よりｘ＝ｙ＋２

（２）にこれを代入すると（ｙ＋２）ｙ＝（ｙ＋２）＋ｙ＋２

⇔ｙ２＋２ｙ＝２ｙ＋４

⇔ｙ２＝４

⇔ｙ＝±２

ｙ＞０よりｙ＝２，ｘ＝４

このとき体積は４×２×１＝８

○ｚ＝２のとき

（１）より、２ｘ＝２ｙ＋２　∴ｘ＝ｙ＋１

これを（２）に代入すると

（ｙ＋１）ｙ＝２（ｙ＋１）＋２ｙ＋２

⇔ｙ２＋ｙ＝４ｙ＋４

⇔ｙ２−３ｙ−４＝０

⇔（ｙ−４）（ｙ＋１）＝０

⇔ｙ＝−１，４

ｙ＞０よりｙ＝４，ｘ＝５

このとき体積は５×４×２＝４０

よって答えは８と４０

７、

直線ＡＢ上にＡに関してＢと逆側に、△Ｄ’ＡＤ∽△ＤＣＡとなるようにＤ’をとる。

（∠ＢＡＤ＋∠ＡＣＤ＝１８０°よりこのようにとれる。）

ＡＣ：ＡＤ＝８：１０＝４：５より△ＤＣＡと△Ｄ’ＡＤとの相似比は４：５

よってＡＤ’＝（５／４）ＣＤ

∠ＣＡＤ＝∠Ｄ’ＤＡなのでＡＯ‖Ｄ’Ｄ。よってＡＢ：ＡＤ’＝ＢＯ：ＯＤ＝６：７

ＡＢ＝６より（５／４）ＣＤ＝ＡＤ’＝６×（７／６）＝７

よってＣＤ＝２８／５

８、

まずｃ≧０のときを考える。

てきとうな直線ｌ上にＡＢ＝ｃとなるようにＡ，Ｂをとる。

Ａを通り、ｌに垂直な直線をｍとする。ｍ上でＣＡ＝｜ａ｜となるような点Ｃをとる。

次に、Ｂを通り、ｌに垂直な直線をｎとし、ｎ上でＤＢ＝｜ｂ｜となるようなＤをｌに関してＣと逆側にとる（ａ＝０のときにはどちらでもいいし、ｂ＝０のときはＢ＝Ｄとなる）。そうすると√（ｘ２＋ａ２）＋√（ｙ２＋ｂ２）はｌ上に点Ｐを取ったときの

ＣＰ＋ＤＰと等しい。これは、Ｐが直線ＣＤ上にあるときが最小でこのときＣＰ＋ＤＰ＝ＣＤ。ＣＤ２＝√｛（｜ａ｜＋｜ｂ｜）２＋ｃ２｝＝√（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２｜ａｂ｜）。これが最小値。

ｃ＜０のときこの求めたい時のｃの値をｃ０とする。ｃ０＝−ｃ’とする（ｃ’＞０）

ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０のときに最小値をとるとすると

ｃ＝ｃ’のときはｘ＝−ｘ０，ｙ＝−ｙ０のとき最小値をとる。

√（ｘ０２＋ａ２）＋√（ｙ０２＋ｂ２）＝√（（−ｘ０）２＋ａ２）＋√（（−ｙ０）２＋ｂ２）

よって、ｃ＝ｃ０のときの最小値はｃ＝ｃ’＞０のときの最小値に等しいので

上より、最小値＝√｛（｜ａ｜＋｜ｂ｜）２＋ｃ’２｝＝√（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２｜ａｂ｜）

よってｃが一般の実数の場合についても最小値は

√（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２｜ａｂ｜）となる。