JMO(2001)本選答案(未完成)JMO(2001)本選答案(未完成)最終更新日: 2001年3月18日（日曜日）
JMO(日本数学オリンピック)は国際数学オリンピックの予選も兼ねた大会で、高校生まで参加できる。われわれMATHICからは今回は9名中学生が参加した。
今回は問題を省略した。数学オリンピック財団のページで見られる。
解説の記述の中に数学に関する知識を前提としたものがある。ごまかしているような気がして後ろめたい。これらについては説明のページを「数学小技集」や「数学用語の森」の中にもうけてリンクを張るつもりである。お待ち下さい。ただ、管理者にメールで訊いて下さればお答えするし、質問を受けたところを優先してページ上で説明していく。
黒マスの個数を奇数（Kとする）と仮定する．このとき、黒ます全体にV1,V2、…VKと番号をふる。このとき、Viにたいし、Viと隣接する黒マスの個数をDiとおくと、D1＋D2＋…＋Dkは、奇数を奇数個足し合わせたので奇数．一方,隣接する黒マスの組（Vi,Vj)にたいし、これらは重複して２度数えられるので,D１＋…＋Dkは偶数．よって、奇数＝偶数となり矛盾．
以下のCase１〜３に分類する
任意の正整数ｋにたいし、（ｐ、10^k）＝１より、あるｂが存在して,ｐ^b≡1(mod.10^k)．このとき０の個数はｋ−１個。これは任意の正整数ｋについてなりたつので、いくらでもながいp冪の０の列がつくれる。
任意の正整数ｋにたいし、10^k=2^k・5^k．5^kと２は互いに素なので、あるｂがあって、2^b≡１(mod.5^k)となる。2^(b+k)=2^k・2^b=2^k・(n'・5^k＋１）=n'・10^k＋2^k．このとき、０は、k-[log(10)2^k]-1個並ぶ．しかし、k-log(10)2^kは発散する ので、いくらでも長い２冪の０の列がつくれる。
２．と同様．
(図はひらっち)。
△ＰＱＲを固定する。ＱＲの中点をＡとする。
ここで∠Ｐの二等分線をＬとする。
ここで、ＱＰ上でＰＲ＝ＰＳなる点Ｓをとると、
２∠ＰＲＳ＝∠ＱＰＲより、Ｌ//ＲＳ
ここで、△ＱＲＳの外接円Ｏを考える。(中心Ｏ)
ここで、ＯＰ≦ＯＲより、ＬとＯの交点をＢ'、Ｃ'とすると、∠Ｂ'ＰＯ＝90°より
Ｂ'Ｐ＝Ｃ'Ｐ、この時、Ｂ'Ｒ＝ＱＤなるＤを弧ＱＢ'上に取る。
この時、Gauss平面上にＯ＝0、Ｂ'＝1 となるように、この図形を置く。
ここでＱ＝ｅiz、Ｓ＝ｅiｙ、Ｃ'＝ｅi(ｙ+ｔ)とすると、
ｅｉ(ｚ+ｔ)＝Ｄ、ｅiｔ＝Ｒ、ｅi(ｙ+ｔ)＝Ｃ'である。
この時、仮定より、Ｃ'Ｂ'の中点,Ｓ,Ｑは共線。従って、
Ｘ＝（ｅi(ｙ+ｔ)＋１−２ｅiｙ）(ｅ-i(ｙ+ｔ)＋１−２ｅ-iz）∈Ｒ
＝６＋ｅi(ｙ+ｔ)−２ｅi(ｙ+ｔ-ｚ)＋ｅi(-ｙ-ｔ)−２ｅi(-ｚ)−２ｅ-iｔ−２ｅiｙ
ここでＡ＝ｅiｔ＋ｅiｚ／２より、△ＡＤＣ'＝0、即ち
Ｙ＝（ｅi(ｚ-ｔ)＋１−２ｅｉｙ）(ｅ-i(ｚ-ｔ)＋１−２ｅ-iz）∈Ｒを示せばよいが、
＝６＋ｅi(ｚ-ｔ)−２ｅ-iｔ＋ｅi(-ｚ+ｔ)−２ｅi(-ｚ)−２ｅｉ(ｙ-ｚ+ｔ)−２ｅiｙ
ここで、Ｙ＝Ｘ−｛ｅi(ｙ+ｔ)＋ｅi(-ｙ-ｔ)｝＋｛ｅi(ｚ-ｔ)＋ｅi(ｔ-ｚ)｝
で、Ｘ−(実数)＋(実数)という形をしている。よってＹ＝Ｒより示された。
ここで、∠Ｂ'ＡＲ＝∠ＤＡＱより、又、∠ＤＡＱ＝∠ＲＡＣ'が示されたので、∠Ｂ'ＡＲ＝∠Ｃ'ＡＲ よってこの△ＡＢ'Ｃ'は問いの条件(@)(A)を満たす。
この時、Ｃ'Ｓ＝ＱＤよりＣ'Ｑ〃ＤＳよりＱＳ＝Ｃ'Ｄ ∴ＡＢ'＋ＡＣ'＝ＰＱ＋ＰＲ
ここで△ＰＱＲに対し２つの△ＡＢ１Ｃ１と△ＡＢ２Ｃ２が
条件(@)(A)を満たしていると、
Ｂ１Ｂ２＝Ｃ１Ｃ２ 又、∠Ｂ１ＡＢ２＝∠Ｃ１ＡＣ２
より、∠ＡＣ１Ｃ２＝∠ＡＢ１Ｂ２―@ 又は、∠ＡＣ１Ｃ２＋∠ＡＢ１Ｂ２＜180°―A
ここで、@なら△ＡＢ１Ｃ１は二等辺三角形。よって△ＰＱＲが三角形をなしていないので矛盾。
次にAの時は∠180°＋∠Ｂ１ＡＣ１＜180°より矛盾。よって
条件を満たすものは、△ＡＢ'Ｃ'に限る。よって証明終了。〃
以上