TMO2003番外編

最終更新日: 2003年11月8日（土曜日）

TMOでは毎年の文化祭でいらした方に選りすぐった問題をお出ししています。今年も良問を難易度さまざまに取り揃えました。1問でも解かれたらお近くのMATHIC会員にお知らせください。その場で当否を判定いたします。問題は、１０番を除いて、１問につきトライマスロンポイント１０点です。メールで答案をお送りいただければ、採点をして結果を返信しますので、そちらもご利用ください。

番外編

1

自然数nが「良い数」であるとは，次を満たすことを言う：

(条件)図のように，板の上にn本の釘が打たれているとしたとき，うまく３点を選んで，その３点に輪ゴムをかけ，三角形をつくるという操作を繰り返すことで，「どの二つの釘も，あるひとつの輪ゴムによって結ばれている」ようにできる．（ただし，二つの釘が輪ゴムによって結ばれるとは，その輪ゴムが両方の釘にかかっていることを指す）．

より数学的な言い方でいえば，n点完全グラフKｎの辺集合が，三角形の３辺をなすような集合たちに分割できることを指す．

このとき，1以上10以下の良い数nを全て求めよ．

2

自然数Xであって，X3+7が125の倍数になるものをひとつ求めよ．

3

次を満たす最小の実数rを求めよ．

　　任意の面積1の凸図形Kは高々r倍の三角形に含まれる．

4

図1のように光源L, および鏡A, B, Cが配置されている．鏡A,B,Cは円形であり，光を図2のように反射する．光源Lから全方向に光が放射される時，照らされる領域を図示せよ

※注　図は準備中です

5

整数係数多項式

　1+ 2X + 3X2 +5X3 +…　+(n+1番目の素数)Xn

は既約多項式であることを示せ．