TMO2003解説編TMO2003解説編最終更新日: 2003年11月8日（土曜日）
TMOでは毎年の文化祭でいらした方に選りすぐった問題をお出ししています。今年も良問を難易度さまざまに取り揃えました。1問でも解かれたらお近くのMATHIC会員にお知らせください。その場で当否を判定いたします。問題は、１０番を除いて、１問につきトライマスロンポイント１０点です。メールで答案をお送りいただければ、採点をして結果を返信しますので、そちらもご利用ください。
＜問＞頂角がそれぞれ３０°，１５０°の二つの二等辺三角形AとBがあります。これらは底辺が等しく、高さを足すと１になります。これらの三角形の底辺の長さを求めてください。
図のようにAとBを底辺でくっつけると対角線が互いに垂直な
＜答＞四角形（凧形）になります。
この四角形の右半分を切って、左半分にくっつけると、
３０°，７５°，７５°の2等辺三角形が出来ます。これの面積は１×１／２ ÷２＝1／４．これは凧形の面積と等しいので、底辺は1／４×２÷１＝１／２。
答：１／２
＜問＞規則性を見つけて答えてください。
ＣＡＴ＝１３７１、ＤＯＧ＝２３９８、ＦＩＳＨ＝９３７６３のとき、ＭＡＴＨ＝？
＜答＞これは、A＝０，B＝１，C＝２，D=3，・・・，X＝２５というようにA〜Xに０〜２５の番号をつけ、26進法で読んだものです。（アルファベットは２６文字）
例えば、CD＝２３（26進法）＝２×２６＋３＝５５となります。
アルファベットは、ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZと並んでいるので、
M＝１２，A＝０，T＝１９，H＝７なので、
MATH＝１２×２６×２６×２６＋０×２６×２６＋１９×２６＋７
＝２１１４１３
答：２１１４１３
＜問＞次の数の列の規則性を見つけて、□に入る数を当ててください。
２，４，８，７，５，１０，１１，□，８，７，１４，・・・
＜答＞２，４，８とくれば、１６，３２，６４，・・・ですね。
１６，３２，６４を７，５，１０の下などに書いた人はこのあたりでもう分かったでしょう。そう、各桁の和を取ったものになっているのです。
１２８に対しては、１＋２＋８で１１，２５６に対しては、２＋５＋６で１３．
よって□に入るのは１３になります。
＜問＞図のようなマス目に9個の異なる1以上の整数を入れて、縦横斜めのどの列の3つの数を掛け合わせても等しい値になるようにします。このとき、その「等しい値」は最小でいくつでしょう。
＜答＞答は２１６です。これを証明しましょう。まず、
３ ４ １８
３６ ６ １
２ ９ １２
のようなものがあるので、２１６未満のものがないことを示しましょう。
それぞれの数が素数ｐで何回割り切れるかを考えます。（ただし、９つの数のうちどれかはｐで割り切れるとします）
このとき、それらはたて，横，ななめの和が等しくなります。
（例えば、上の方陣で言うならば、ｐ＝３のとき
１ ０ ２
２ １ ０
０ ２ １
となって、確かに縦横ななめの和がすべて３になっています。）
その「等しい値」が３以上であることをまず示します。
まず、０だとすると全て０になり矛盾。
１だとすると、０と１のみをつかって作らねばならないがそれは明らかに不可能（少し調べれば分かります）また、あるｐについてみたときの和の「等しい値」が２だったとする。
するとこれは０と１によってのみ作られていることがすぐわかる。
これも作れないことが明らかなので、
次に、上のようなｐの個数が何個であるかによって場合分けします。
（１）一つのとき
そのとき、ｐを２にするのが明らかに最小ですが、このとき全て異なる数でなければならないと言う条件により、（０＋１＋２＋・・・＋８）／３＝１２なので２１２以上。
（２）２つのとき
上で示したことより２３３３＝２１６以上。
（３）３つ以上のとき、
２３３３５３（＞２１６）以上。
２１２＞２１６なので示された。
答：２１６
＜問＞2桁の整数に対し、次のような操作をします。
（操作）その数を並び替えて最大になるもの−最小になるもの
にその数を置き換える。置き換えた数が２桁でなければ、そこで操作を終了する。
実は、どの2桁の整数に対してもいつか操作が終わります。では、最多で何回かかるでしょう。
＜答＞まず最初にお詫びです。文化祭一日目の採点で、本当は５が正解のところを４が正解としていました。申し訳ありませんでした。
まず、最大になるものを１０ａ＋ｂとおくと、最小になるものは１０ｂ＋ａなので、
一回操作をすると、９（ａ−ｂ）となり、９の倍数。よって、９の倍数のみ調べればよい。
１８→６３→２７→４５→９
それ以外はこれを途中からたどることになるのでこれが最多（４回）。
また、２４→１８なので実際に一回操作をすると１８になるものがある。
よって４＋１＝５回。
答：５回
＜問＞各桁の3乗をすべて足すと元の数になるような1以上の整数を全て求めてください。
（Aの3乗とは、A×A×Aのこと。）
＜答＞ひたすら調べましょう。適当に場合分けして地道にやれば全て見つかります。
答：１，１５３，３７０，３７１，４０７
＜問＞あなたはＭＡＴＨＩＣに大衆賞を投票する。YesかNoか。
(去年の正答率１００％＝ＭＡＴＨＩＣ調べ)
＜答＞答を言う必要はないでしょう。大衆賞を投票してくれた皆さんどうもありがとうございました。
＜問＞右図で、△ＡＢＣは角Ａが直角の二等辺三角形、∠ＰＢＣ＝15°、∠ＰＣＢ＝30°のとき、∠ＰＡＢを求めてください。
＜答＞点Ｄを直線ＡＢに対しＰと同じ側にＡＢＤが正三角形になるようにとる。
∠ＡＢＤ＝６０° ―――@
∠ＢＡＤ＝６０° ―――A
ＡＢ＝ＡＤ ―――B
また、△ＡＢＣが直角二等辺三角形なので
∠ＡＢＣ＝４５° ―――C
∠ＡＣＢ＝４５° ―――D
∠ＢＡＣ＝９０° ―――E
ＡＢ＝ＡＣ ―――F
@，Cより∠ＣＢＤ＝１５° ―――G
B，EよりＡＣ＝ＡＤ ―――H
A，Eより∠ＣＡＤ＝３０° ―――I
H，Iより∠ＡＣＤ＝７５° ―――J
D，Jより∠ＢＡＤ＝３０° ―――K
G，Kより、△ＢＰＣと△ＢＤＣは合同。
よって、ＢＤ＝ＢＰ．また、△ＡＢＤが正三角形なので、ＢＤ＝ＡＢ
よって、ＡＢ＝ＢＰ。
また、∠ＡＢＰ＝３０°より、∠ＢＡＰ＝７５°
答：７５°
＜問＞右図で、ＡＢＣＤは長方形で、ＰＱＲはＱが直角の三角形で、ＡＰ＝ＡＢ、ＰＦ＝９、ＦＱ＝３、ＰＥ＝４、ＥＲ＝９です。
このとき、六角形ＡＢＥＲＱＦの面積を求めなさい。
＜答＞三角形ＡＰＦをＰを中心に回転させて、ＡがＢに重なるようにする。このときＦが移動した点をＧとすると、（六角形ＡＢＥＲＱＦの面積）＝（四角形ＧＥＲＱの面積） となる。
ＰＱ＝１２，ＰＲ＝１３，∠ＰＱＲ＝９０°よりＱＲ＝５
（三角形ＰＱＲの面積）＝ＰＱ×ＱＲ／２＝１２×５／２＝３０
（三角形ＥＱＲの面積）＝（三角形ＰＱＲの面積）×ＥＲ／ＰＲ＝３０×９／１３＝２７０／１３
（三角形ＥＰＱの面積）＝（三角形ＰＱＲの面積）×ＰＥ／ＰＲ＝３０×４／１３＝１２０／１３
（三角形ＧＥＱの面積）＝（三角形ＥＰＱの面積）×ＧＱ／ＰＱ＝１２０／１３ ×２１／１２＝２１０／１３
（四角形ＧＥＰＱの面積）＝（三角形ＧＥＱの面積）＋（三角形ＥＱＲの面積）
＝２７０／１３＋２１０／１３＝４８０／１３
答：４８０／１３
＜問＞一辺１の立方体を、面積Ｓの正方形で包む。
このときＳをなるべく小さくしてください。
＜答＞面積が八の正方形の正方形で、図の紫の部分を使って覆うようにすれば包めます （ちょうど上の面に四方向から直角二等辺三角形が乗る。わかりにくくてすみません。包むアニメーションとか作れないのでこれで勘弁汗）
一応８が最小であることの証明は出来たのですが、
ここでは難しいので紹介はしません。