答：156
１回目の注文と２回目の注文で100個の箱を頼んだ数が等しかったとします。このとき、差が54個であることから、１回目の注文で頼んだ10個入りの箱と、１個入りの箱の数は、（６，０）、（７，１）、（８，２）、（９，３）のどれかです。
しかも、１回目の注文で届いた個数は欲しかった個数の４倍より９少ないので奇数です。よって（７，１）か（９，３）のどちらかです。
（９，３）だとすると、欲しかった個数の４倍の下二桁が02となり４の倍数でなく矛盾。（７，１）だとすると、欲しかった個数の４倍の下二桁が80となり５の倍数なので、欲しかった個数も５の倍数。よって１個入りの箱を５個買う予定だったことになります。（０個買うということはないから）
ということは、１回目の注文で、100個入りの箱を５個、10個入りの箱を７個、１個入りの箱を１個頼んだことになるので、欲しかった個数は145個。これは矛盾です。
よって、１回目の注文と２回目の注文で100個の箱を頼んだ数は違うことになります。
２回目の注文で頼んだ100個の箱の個数をａとすると、１回目の注文で頼んだ100個の箱の個数はａ＋１。また、欲しかったリンゴの個数の100の位をｂとします。ｂ＜ａ＜ａ＋１なので、１回目の注文で頼んだ10個の箱の個数はｂで１個の箱の個数は１。（逆だとすると、２回目の注文との差が９０個以上になってしまう）２回目の注文で頼んだ10個の箱の個数はａ＋１、１個の箱の個数はｂ
条件より、
｛100×（ａ＋１）＋10×ｂ＋ａ｝−｛100×ａ＋10×（ａ＋１）＋ｂ｝＝90＋９×ｂ−９×ａ＝９×（10＋ｂ−ａ）＝54
ａ−ｂ＝４
よって、１回目に注文したリンゴの個数として考えられるのは504、615、726、837、948の５通りです。しかしこれは注文したかった個数の４倍引く９なので、615しか考えられません。
よって、Ｓ君が食べたかったリンゴの個数は（615＋９）／４＝156となります。
答：15cm
まず、BD:DC＝150:90＝5:3です。
DをとおりABに平行な直線を引いて、ACとの交点をEとすると、△CAB:△CED＝64:9なので、△CED＝135/4cm^2、△AED＝225/4cm^2となります。
∠ADE＝∠DAB＝75°、∠EAD＝30°なので△AEDは角が30°,75°,75°の二等辺三角形です。
AD,AEの長さを□cmとすると、∠EAD＝30°なので底辺AEに対する△ADEの高さは□÷２(cm)です。
よって□×(□÷２)÷２＝225/4となります。つまり□×□＝225で、□＝15です。
※平行線を別の場所に引いてもそれなりに解けます。
〜別解〜
△ABDをABで折り返して△ABD'にすると、D'ACが一直線になります。
BC:DC＝8:3、△D'BC:△ADC＝390:90＝13:3なので、D'C:AC＝13:8、つまりDA:AC＝D'A:AC＝5:8になります。
よって、ADの長さを□cmとすると、AC＝□×8/5(cm)なので底辺ADに対する△ADCの高さは□×8/5÷2(cm)です。
□×(□×8/5÷２)÷２＝90
□×□＝225
□＝15
答：60
次の数が必ず前の数の倍数になっていることに気付くのが第一歩です。
２は１，２の最小公倍数
６は１，２，３の最小公倍数
12は１，２，３，４の最小公倍数
60は１，２，３，４，５の最小公倍数
というようにｎ番目の数は１からｎまでの最小公倍数なのです！
つまり□は１，２，３，４，５，６の最小公倍数になるので□＝６０です。
答：19
とりあえず差を取ってみると、
２，３，３，５、？、？、３，５
最初だけ偶数ですね。最初だけ偶数である数列で代表的なものといえば？
そう、素数です。素数の列を問題の列の下に書いてみましょう。何か見えてきませんか？
３＝２＋１、５＝３＋２、８＝５＋３、11＝７＋４、16＝11＋５、24＝17＋７、27＝19＋８、32＝23＋９
第ｎ項はｎ番目の素数＋ｎとなっていたのです！
よって答えは、□＝13＋６＝19です。
答：正三角形の方が1cm^2大きい
一辺１の正方形の対角線の長さをａとします。１辺１の正方形の面積はａ×ａ÷２＝１なので、ａ×ａ＝２です。
点Ａがどのような軌道を描くかを図に書くと次のようになるので、「Ａの軌跡と円周で囲まれた図形のうち小さい方」の面積は、
（１辺１の正六角形）−（半径１、中心角30°の扇形）×２−（半径ａ、中心角30°の扇形）−（直角をはさむ辺が両方１の直角二等辺三角形）×２＋（半径１、中心角120°の扇形）−（辺の長さが１で内角が60°、120°なひし形）
となります。
（１辺１の正六角形）＝（１辺１の正三角形）×６
（辺の長さが１で内角が60°、120°なひし形）＝（１辺１の正三角形）×２
であることを使うと、求めたい面積は、
（１辺１の正三角形）×４−１×１×3.14×30／360×２−ａ×ａ×3.14×30／360−１×１×１／２×２＋１×１×3.14×120／360
＝（１辺１の正三角形）×４−１
（１辺２の正三角形）＝（１辺１の正三角形）×４
でなるので、正三角形のほうが１cm^2大きいです。
答：120
ｘ×ｙ＝（ｘ＋５）×（ｙ−12）＝（ｘ＋10）×（ｙ−16）を解けばＯＫです。
左辺＝中辺より、ｘ×ｙ＝ｘ×ｙ＋５×ｙ−12×ｘ−60
よって、５×ｙ−12×ｘ＝60 ―――(i)
左辺＝右辺より、ｘ×ｙ＝ｘ×ｙ＋10×ｙ−16×ｘ−160
よって、10×ｙ−16×ｘ＝160 ―――(ii)
(i)を２倍して、10×ｙ−35×ｘ＝120
これと(ii)をあわせると、８×ｘ＝40、つまりｘ＝５が分かります。(i)にｘ＝５を代入すれば、ｙ＝24も分かります。
よって答えは５×24＝120。
※ｘ、ｙという文字の置き方がよく分からないという小学生は、○、□に置き換えると多分分かるでしょう。
答えは言う必要はないでしょう。大衆賞を投票してくれた方々、どうも有難うございました。今年は特別参加団体部門でジャグラー、生物部、音楽部、化学部に次ぐ５位というなかなかの好成績でした。
答：9/13m
さて、跳ね返りといえば図の折り返しです。縦方向に3:1の比で跳ね返るので、「反射前の図形を、面に垂直な方向に1/3に縮めて折り返す」か「反射後の図形を、面に垂直な方向に３倍に伸ばして折り返す」かすれば反射前と反射後の球の軌跡が一直線になります。
△ABCをABで1/3に縮めて折り返して△ABC'を作ります。
△ABCをACで３倍に伸ばして折り返して△AB'Cを作ります。
△CBB'をCBで３倍に伸ばして折り返して△CBB''を作ります。
すると球の軌跡は直線C'B''となります。
このときCB:B'B＝2:(1+3)＝1:2＝AB:CB、∠B'BC＝∠CBAなので△ABCと△CBB'は相似で∠B'CB＝90°なので、B'CB''は一直線になります。また同様に∠C'BC=90°なので、B'CB''とC'Bは平行です。
B'C:BC'＝B'A:AB＝3:1、B'C:CB''＝3:1なので、B'B'':C'B＝12:1です。
DはC'B''とB'Bの交点なので、DB＝4×1/(1+12)(m)＝4/13(m)、AD＝9/13mです。
答：リンゴ27個、ミカン68個、カキ25個
リンゴをＸ個、ミカンをＹ個、カキをＺ個買ったとします。すると条件より、
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝120 ―――(i)
２Ｘ／３＋３Ｙ／４＋４Ｚ／５＝89 ―――(ii)
となります。
(i)を45倍すると、45Ｘ＋45Ｙ＋45Ｚ＝5400
(ii)を60倍すると、40Ｘ＋45Ｙ＋48Ｚ＝5340
（45Ｘ＋45Ｙ＋45Ｚ）−（40Ｘ＋45Ｙ＋48Ｚ）＝５Ｘ−３Ｚ＝5400−5340＝60
となり、５Ｘ−３Ｚ＝60がわかります。このＸとＺの組として考えられるものを考えてみましょう。
まず、ＸとＺはともに奇数か、ともに偶数です（60は偶数なので）。しかしともに偶数だと互いに素の条件に反するので、ＸとＺはともに奇数だとわかります。
そこでともに奇数であるようなＸとＺの組をすべて書き出すと、
Ｘ＝15，Ｚ＝５
Ｘ＝21，Ｚ＝15
Ｘ＝27，Ｚ＝25
………
となります。これ以降はＸよりＺのほうが大きくなり、条件に反するので考えなくて結構です。
このうち上２つはＸとＺがともに３の倍数であり、互いの素の条件に反します。
逆にＸ＝27，Ｚ＝25とするとき、Ｙ＝68であり、これは条件を満たします。よってリンゴは25個、ミカンは68個、カキは25個です。
※実は、リンゴよりカキの方が多く食べられたという条件は必要ないようです
答：1010cm^2
△DEF＝△ABC+△ABF+△BCD+△CAE-△AEF-△BFD-△CDEです。
また、よく見るとわかるのですが
△GHI＝△ABC-△ABI-△BCG-△CAH+△AHI+△BIG+△CGHです。
ここで△ABFと△ABIなどの組は明らかに面積が等しく、また、△AEFと△AHIなどは、二辺が等しく、それらに挟まれた角の和が180°なので、等しい辺を一組張り合わせて図のように考えると、面積が等しいことが分かります。
よって、上のほうの２つの式の両辺をそれぞれ足すと、△DEF+△GHI＝２×△ABCとなります。
△DEFと△GHIがそれぞれ2004cm^2、16cm^2だったので、△ABC＝1010cm2となります。
※G,H,Iの位置が微妙にずれて△GHIが裏返る(G,H,Iがこの順に時計回りになる)と、２番目の式が-△GHI＝・・・となるので答が994cmになります。図だと微妙にどっちか判断しづらいのはご愛嬌。
