TMOでは毎年の文化祭でいらした方に選りすぐった問題をお出ししています。今年も良問を難易度さまざまに取り揃えました。1問でも解かれたらお近くのMATHIC会員にお知らせください。その場で当否を判定いたします。問題は、１問につきトライマスロンポイント１０点です。メールで答案をお送りいただければ、採点をして結果を返信しますので、そちらもご利用ください。
4桁の整数Aと2桁の整数Bがあり、AをBで割ると、商はBより100大きく、あまりはBより1小さくなります。また、A-1をB-1で割ると、あまりを二乗するとB-1になります（あまり×あまり=B-1になった、ということです）。このとき、AとBはそれぞれいくつですか。
1〜9の整数をいくつか（0個や1個でもいい）足して、和を9の倍数にする方法は何通りありますか。ただし、同じ数は2度までしか足せないものとします。また、足す順番が違うだけのものは同じとみなします。
規則性の問題です。□に入る数を考えてください。
6, 10, 14, 15, 21, 22, □, 33, 34, 35, ……
AB=ACである二等辺三角形ABCの辺AB、BC、CA上に点P、Q、Rをとったところ、∠PQR=90°、BQ:CQ=13:4、BP+CR=PRとなりました。このとき、AP:BPを求めてください。
図のように10個の丸が円状に並んでいます。丸の中に11〜20の整数を1つずつ、どの隣り合った2つの数の和も素数になるように入れてください。
正方形ABCDの対角線の交点をEとし、また、Bを中心とする四分円中に図のように点Pをとったところ、∠DPE=120°となりました。このとき、∠APEを求めてください。
貴方は数学科学研究会（MATHIC）に大衆賞を投票する。YesかNoか。
（昨年度の正答率100% : MATHIC調べ）
∠A=135°である三角形ABCの辺上に点D、Eをとって、∠BAD=∠DAE=∠EAC=45°となるようにしたところ、△ABC、△ADEの面積がそれぞれ9cm^2、1cm^2になりました。このとき、BCの長さを求めてください。
あるソフトクリーム屋には、バニラ味、抹茶味、イチゴ味、それらを3分の1ずつ食べられるミックス味の4種類のソフトクリームがあります（全体量はすべて同じです）。ある日、このソフトクリーム屋では、イチゴ味のソフトクリームがミックス味のちょうど3倍売れました。また、各々の味の原料が使用された量を調べてみると、抹茶味の原料はバニラ味の1.5倍より多いが2倍より少なく、イチゴ味の原料はバニラ味の原料の2.5倍より多いが3倍より少なかったそうです。このソフトクリーム屋では、この日最低何本のソフトクリームが売れたと考えられるでしょうか。
四角形ABCDがあり、AB=3cm、BC=10cm、DA=DC、∠A=126°、∠C=54°を満たしています。この四角形の面積は、一辺が1cmの正五角形の面積の何倍でしょう。
