TMO TMO最終更新日: 2001/04/22
TMOはTsukukoma Mathematical Olynpiadの略で、筑駒数学オリンピックだ。MATHICが毎年文化祭でおこなっている、数学の問題を解くコンテストだ。問題は10問で小学生にも意味が分かるよう工夫している。文化祭のときMATHICに入らせば、誰でも参加できる。とりあえず最新のものから載せていく。
下の式が成り立つように３０以下の素数から９つ選んで９つの文字Ｍ，Ａ，Ｔ，Ｈ，Ｉ，Ｃ，ｔ，ｍ，ｏにあてはめてください。ただし、違う文字には違う数が入ります。
Ｍ ＋ Ａ ＋ Ｔ ＋ Ｈ ＋ Ｉ ＋ Ｃ ＝ ｔ × ｍ × ｏ
３０以下の素数は２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９の１０個
よって、選ばれないのは一つだけ。２が選ばれなかったとすると、Ｍ〜ｏはすべて奇数になるので左辺は偶数。また、右辺は奇数三つの積なので奇数。これは矛盾。よってＭ〜ｏのどれかに２が入る。
このとき左辺は最大でも２＋２９＋２３＋１９＋１７＋１３＝１０３
右辺は最小でも３×５×７＝１０５ これは矛盾。よって、この場合に答えはない。
選ばれなかった数をｘとする。また、２＝ｔ＜ｍ＜ｏとする
２＋３＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＋２３＋２９＝１２９ となるので
１２９−２−ｍ−ｏ−ｘ＝２×ｍ×ｏ
１２７−（ｍ＋ｏ＋ｘ）＝２×ｍ×ｏ となる。
ｍ＋ｏ＋ｘは最小で３＋５＋７＝１５になるので、１２７−（ｍ＋ｏ＋ｘ）は最大で１２７−１５＝１１２になる。よって、ｍ×ｏは最大で５６
よってｍ，ｏの組み合わせは（ｍ，ｏ）＝（３，５），（３，７），（３，１１），（３，１３），（３，１７），（５，７），（５，１１） の７通り
はじめから調べると
１２７−（８＋ｘ）＝３０ ｘ＝８９ となり不適。
１２７−（１０＋ｘ）＝４２ ｘ＝７５ より不適。
１２７−（１４＋ｘ）＝６６ ｘ＝４７ より不適。
１２７−（１６＋ｘ）＝７８ ｘ＝３３ より不適。
１２７−（２０＋ｘ）＝１０２ ｘ＝５ より適する。
１２７−（１２＋ｘ）＝７０ ｘ＝４５ より不適。
１２７−（１６＋ｘ）＝１１０ ｘ＝１ より不適。
よって、適するのは（Ｍ，Ａ，Ｔ，Ｈ，Ｉ，Ｃ）＝（７，１１，１３，１９，２３，２９）, （ｔ，ｍ，ｏ）＝（２，３，１７） だけ。
答：（Ｍ，Ａ，Ｔ，Ｈ，Ｉ，Ｃ）＝（７，１１，１３，１９，２３，２９） （ｔ，ｍ，ｏ）＝（２，３，１７） （同じかっこ内の数字は順不同。）
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