1.

2.

まず、韓国人の人数は整数なので、全体の人数は５で割り切れる。

次に、アメリカ人の人数は整数なので、全体の人数は２で割ると１あまる。

さらに全体の人数は、７×ドイツ人―８と表せるので、全体の人数は７で割ると６あまる。

また、

韓国人×５＋１５＝全体の人数

＝韓国人×（１＋１／２＋１／４）＋ロシア人×（１＋２＋１／２）＋６

＞韓国人×（１＋１／２＋１／４＋１＋２＋１／２）＋６

＝韓国人×２１／４＋６

韓国人×１／４＜９　　　韓国人＜３６

韓国人の人数は３６人より少ない。よって全体の人数は１９５人より少ない。

以上より、全体の人数として考えられるのは、５５と１２５のみ。

しかし、５５の場合は韓国人＝アメリカ人＝８となって不適。

１２５の場合は、

韓国人２２人、アメリカ人１５人、ロシア人２３人、中国人４６人、ドイツ人１９人

となって、題意に適する。よって答は１２５人。

3.

ＦＧ上に、ＦＳ＝１となるＳをとりＦＳとＱＲの交点をＴとする。

すると、面ＡＥＳＰとＱＲは垂直に交わるので、四面体ＡＰＱＲの体積は、

△ＡＰＴ・ＱＲ／３＝ＡＰ・ＡＥ・ＱＲ／６＝ＥＳ・ＱＲ・２／３＝１７・２／３＝３４／３

4.

5.

http://mathic.s6.xrea.com/tmo/TMO5.htm

をご覧ください．

6.

SコースとCコースを足した長さをｐ、LコースとCコースを足した長さをｑとする。

また最初に出会うのは、Pからｋメートル離れた地点とする。

まず、２回目に出会う地点が最初の地点より２００メートル先（Pから遠い方）だとすると、

１５分後にＰから２００メートルの地点で、２人は出会うため不適。

よって、２回目は２００メートル手前（Ｐに近い方）で出会う。

また、Ａは１０分で、何周かとｋだけ進んでいるので、その１５分後には、

Ａは何周かと３ｋ／２、または何周かと半周と３ｋ／２だけ進んでいる。

よってＡが１回目に出会ってから１５分後にいる可能性のある地点は、

最初に出会った地点から３ｋ／２進んだ地点、もしくは３ｋ／２＋ｐ／２進んだ地点のどちらかである。

よって、３ｋ／２＋２００　または　３ｋ／２＋p/2＋２００　はｐで割り切れる。

つまり、３ｋ／２＋２００　はp/2の倍数。

３ｋ／２＋２００＝ｔｐ/2（ｔは自然数)

ｋ≦５００　ｐ≧５００より、1900/2≧500ｔ/2　　ｔ＝１，２，３

ｑに関しても同様の議論ができる。

よって、１周の長さとしては、　３ｋ＋４００、　３ｋ／２＋２００　、ｋ＋４００/３、の３通りが考えられる。

�@３ｋ／２＋２００　と　ｋ＋４００/３　

差が９００なので、ｋ＝５０００/３となり、ｋ≦５００を満たさず不適

�A３ｋ＋４００　と　ｋ＋４００/３

差が９００なので、ｋ＋４００/３＝ｐ＝４５０となり、ｐ≧５００を満たさず不適

�B３ｋ＋４００　と　３ｋ／２＋２００

ｋ＝１４００/３　ｐ＝９００　ｑ＝１８００　となる。

ここで、条件を満たすようにＡ，Ｂが走れるか調べる。

例えば、Ａが140/３ｍ／分の速さ　Ｂが400/3ｍ／分の速さ　とすれば、すべての条件を満たすことが確認できる。　

よって1400/3メートルが答

7.

大衆賞投票してくれた方々、どうもありがとうございました。

8.

直線ＤＡのＡ側の延長上に、ＡＢ＝ＡＥとなるＥをとる。すると、

∠ＤＥＢ＝∠ＣＡＢ、ＤＥ＝ＣＡ、ＢＤ＝ＢＣより、△ＤＥＢと△ＣＡＢは、２辺とその間でない角が等しいので、

�@△ＤＥＢ≡△ＣＡＢ

�A∠ＤＢＥ＋∠ＣＢＡ＝１８０

の２通りが考えられる。

�@△ＤＥＢ≡△ＣＡＢのとき

ＢＡ＝ＢＥとなるので、△ＡＥＢは正三角形。∠ＢＡＤ＝１２０

　�A∠ＤＢＥ＋∠ＣＢＡ＝１８０のとき

△ＤＥＢと□ＡＢＣＤの内角の和の和は、

∠ＡＤＣ＋（∠ＥＤＢ＋∠ＢＣＤ）＋（∠ＤＢＥ＋∠ＣＢＡ）＋（∠ＤＥＢ＋∠ＤＡＢ）

＝２∠ＡＤＣ＋１８０＋３∠ＤＥＢ＝３８０＋３∠ＤＥＢ＝５４０．∠ＤＥＢ＝１６０／３．∠ＢＡＤ＝３２０／３